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sexta-feira, 31 de julho de 2015

A lógica após Aristóteles (Marilena Chaui)

(Continuação da obra "Convite à Filosofia", de Marilena Chaui)


Capítulo 3 [da parte 5]
A lógica após Aristóteles


A lógica estóica

Vimos que Aristóteles emprega a palavra analítica para referir-se ao estudo das leis ou regras que o pensamento deve seguir para exprimir a verdade. Não emprega a palavra "lógica". Esta foi introduzida por uma corrente filosófica do período final da Filosofia grega, o estoicismo.

Os estóicos afirmavam que só existem corpos (mesmo a alma era corporal, sendo um sopro sutil e invisível, o pneuma). Afirmavam também que há certas coisas que não existem propriamente, mas subsistem por meio de outras, sendo incorporais.

Entre os incorporais colocavam o exprimível, isto é, a linguagem ou o discurso, e consideravam o estudo dos discursos ou dos logoi uma disciplina filosófica especial: a lógica.

Por afirmarem que somente os corpos existem, os estóicos afirmavam, como conseqüência, que os juízos e as proposições só poderiam referir-se ao particular ou ao singular, uma vez que os universais não têm existência, ou seja, não existem corpos universais, mas apenas singulares.

As coisas singulares se imprimem em nós por meio da percepção ou da representação; sobre elas formulamos os juízos e os exprimimos em proposições verdadeiras ou falsas, cabendo à lógica duas tarefas:
1. determinar os critérios pelos quais uma proposição pode ser considerada verdadeira ou falsa; e
2. estabelecer as condições para o encadeamento verdadeiro de proposições, isto é, o raciocínio como ligação entre proposições singulares.

Por meio da percepção temos a representação direta de uma realidade. Nossa memória guarda a recordação dessa representação e de muitas outras, formando a experiência. Da experiência nascem noções gerais sobre as coisas, noções comuns, que são antecipações sobre as coisas singulares de que temos ou teremos percepções.

A lógica se refere à relação entre as noções comuns gerais e as representações particulares. As noções comuns gerais correspondem ao que Aristóteles chamou de categorias, mas reduzidas a apenas quatro:
1. o sujeito ou substância, expresso por um substantivo ou por um pronome;
2. a qualidade, expressa por adjetivos;
3. a ação e a paixão, expressas pelos verbos;
4. a relação, que se estabelece entre as três primeiras categorias.

Uma outra inovação importante trazida pelos estóicos refere-se à proposição. Esta não é, como era para Aristóteles, a atribuição de um predicado ao sujeito (S é P), mas é um acontecimento expresso por palavras: o predicado é um verbo que indica algo que acontece ou aconteceu com o sujeito: “Pedro morre” (e não “Pedro é mortal”); “É dia, está claro” (e não “O dia é claro”); “João adoece” (e não “João é doente”).

Como conseqüência das inovações (só há corpos, só há coisas singulares, só há quatro categorias, somente o verbo é predicado), os estóicos concebem a lógica como uma disciplina que se ocupa dos significados, buscando, por meio deles, aquilo que significa e aquilo que é.

Por exemplo, se eu disser “Sócrates”, temos nessa palavra aquilo que o significado significa – alguém chamado Sócrates -, e nela temos também o próprio Sócrates, que é aquilo que é, ou seja, a coisa real significada pela palavra Sócrates. O significado estabelece a relação entre a palavra Sócrates e o homem real Sócrates.

O significado é, ao mesmo tempo, a representação mental ou o conceito ou a noção que formamos de Sócrates e a relação entre essa representação e o ser real de Sócrates. Em suma, o significado é o que permite estabelecer a relação entre uma palavra e um ser, pela mediação da representação mental que possuímos desse ser. É o sentido.

A lógica estóica opera com o sentido ou com o significado. Uma proposição, para os estóicos, é sempre um enunciado simples sobre um acontecimento referente a um significado (“Sócrates escreve”, “Sócrates anda”, “Sócrates senta-se”).

Existem cinco tipos de ligações entre as proposições, formando cinco tipos de raciocínios:
1. raciocínio hipotético, que exprime uma relação entre um antecedente e um conseqüente, do tipo Se… então… Por exemplo: “Se há fumaça, então há fogo; há fumaça, portanto, há fogo”; “Se é noite, então há trevas; é noite, portanto, há trevas”;

2. raciocínio conjuntivo, que simplesmente justapõe os acontecimentos. Por exemplo: “É dia, está claro”; ou “É dia e está claro”;

3. raciocínio disjuntivo, que separa os enunciados, de modo que somente um deles seja verdadeiro. Por exemplo: “Ou é dia ou é noite”;

4. raciocínio causal, que exprime a causa do acontecimento. Por exemplo: “Visto que está claro, portanto, é dia”;

5. raciocínio relativo, que exprime o mais (ou maior) e o menos (ou menor). Por exemplo: “Está menos escuro quando é mais dia”.

De todos os tipos de raciocínio, o mais importante é o hipotético, porque os outros são variantes dele, como se pode observar no exemplo: “Este soldado tem sangue no peito; se tem sangue no peito, feriu-se; tem sangue no peito, portanto, feriu-se”. Outro exemplo: “Será dia ou noite?; se está claro, então é dia; portanto, não é noite”.

Durante a Idade Média, os filósofos se dividiram em duas grandes correntes: os aristotélicos, como santo Tomás de Aquino, e os chamados terministas, que adotaram a lógica estóica, como foi o caso de Guilherme de Ockham. Os primeiros são considerados racionalistas, enquanto os segundos são considerados empiristas, já que só admitem a existência e a experiência de coisas singulares de que temos sensação ou percepção, e porque só aceitam a conexão de proposições cuja conclusão exprima fatos ou acontecimentos presentes.

A lógica contemporânea irá buscar nos estóicos a idéia de relação, contrapondo-a à atribuição aristotélica, que estabelece a inclusão do predicado no sujeito.

Os medievais e os clássicos

Para Platão, a dialética era o instrumento para alcançar a verdade. Por meio dela, a faculdade de conhecer subia das opiniões contrárias ou opostas até às idéias ou essências universais, a realidade verdadeira.

A dialética era, assim, um método de diálogo que partia da discussão entre interlocutores que, possuindo apenas imagens confusas das coisas, defendiam posições contrárias sobre um assunto ou sobre alguma coisa; as contradições entre as opiniões iam sendo discutidas, depuradas, purificadas pelos argumentos racionais da dialética, que persuadia os interlocutores a alcançar a identidade da idéia, a mesma para todos.

Para Aristóteles, porém, a dialética não poderia cumprir o papel de instrumento do pensamento verdadeiro, porque este exige procedimentos de prova ou demonstração, para além da simples argumentação. Por esse motivo, Aristóteles reservava a dialética para os campos em que a argumentação e a persuasão eram importantes, mas colocava a lógica (a analítica) como instrumento indispensável do pensamento científico e filosófico, isto é, do pensamento que demonstra a verdade das suas teses e conclusões. A lógica era, assim, o instrumento demonstrativo do pensamento verdadeiro.

Os estóicos mantiveram a idéia aristotélica de que a lógica era um instrumento de prova. No entanto, como sua teoria do conhecimento afirmava que só conhecemos aquilo de que temos experiência direta, a prova era considerada a maneira pela qual se podia chegar a uma conclusão partindo de premissas meramente prováveis, isto é, do raciocínio hipotético. Por esse motivo, a prova possuía um caráter persuasivo ou argumentativo, levando o estoicismo a identificar lógica e dialética.

Durante a Idade Média, embora os filósofos tivessem feito opções diferentes – uns optaram pela concepção de Aristóteles e outros pela dos estóicos -, todos tenderam a identificar lógica e dialética, isto é, a considerar que a lógica é uma arte racional de demonstração, mas que essa demonstração tem a força de um argumento persuasivo. A lógica oferecia os procedimentos racionais da prova e da dialética, os meios de persuadir o ouvinte ou o leitor.

A principal contribuição dos medievais esteve no esforço para dar um passo além de Aristóteles, com a proposta de quantificar também o predicado das proposições. Assim, além das proposições serem universais ou particulares em função do sujeito – todos os S, nenhum S, alguns S, este S – deveriam ser também universais ou particulares conforme o predicado - todos os P, nenhum P, alguns P, este P.

Por exemplo: “Todos os homens são alguns mortais” (pois os animais e as plantas também são mortais); “Todos os homens são todos os seres compostos de corpo e espírito” (pois os anjos só têm espírito, enquanto os animais e as plantas só têm corpo).

Os medievais também contribuíram para a lógica, deixando mais clara a relação entre ela e a linguagem, isto é, mostrando que a lógica é inseparável de um uso ordenado e regulado da linguagem.

Partindo do latim – que era a língua culta usada pela Filosofia, pela ciência, pelas artes e pelo direito -, estabeleceram regras para todas as funções sintáticas e semânticas dos signos da língua latina.

Essa concepção da lógica como relação entre o pensamento e uma linguagem perfeitamente ordenada e regulada, capaz de exprimir claramente as idéias, foi intensamente desenvolvida no século XVII por Leibniz, que propôs uma Arte Combinatória, inspirada na álgebra. Assim como a álgebra possui símbolos próprios, inconfundíveis, universais para todos os matemáticos, assim também a lógica deveria ser uma linguagem perfeita, totalmente purificada das ambigüidades e contra-sensos da linguagem cotidiana.

Leibniz propôs uma linguagem simbólica artificial, isto é, construída especialmente para garantir ao pensamento plena clareza nas demonstrações e nas provas.

A relação entre lógica e matemática também foi desenvolvida no século XVII pelo filósofo inglês Hobbes, tendo a geometria como modelo. Hobbes considerava o raciocínio um cálculo, isto é, quando raciocinamos, simplesmente somamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos idéias, cabendo à lógica estabelecer as regras universais desse cálculo.

A linguagem, dizia Hobbes, é uma convenção social. É por convenção que fazemos determinados sons e determinadas grafias – isto é, determinadas palavras – corresponderem a certas coisas e não a outras e, conseqüentemente, o significado lingüístico e mental resulta dessa convenção social. À lógica caberia organizar, ordenar e sistematizar as formas corretas do uso das convenções, garantindo que cada palavra e cada idéia, cada proposição e cada conceito pudessem corresponder-se, livres de toda confusão e ambigüidade.

Esse ideal de uma lógica simbólica perfeita, inspirada na linguagem matemática, veio concretizar-se apenas nos meados do século XIX, com a publicação de duas obras: Análise matemática da lógica, de Boole (em 1847), e Lógica formal, de Morgan (também em 1847). Caberia mais tarde ao filósofo alemão Frege e aos filósofos ingleses Bertrand Russell e Alfred Whitehead completar e consolidar a grande transformação da lógica, abandonando as teorias aristotélicas da inferência por uma nova concepção de proposição lógica.

A lógica matemática

Para os antigos e os medievais aristotélicos, os princípios e as leis da lógica correspondiam à estrutura da própria realidade, pois o pensamento exprime o real e dele participa. Aristóteles dizia que a verdade e a falsidade são propriedades do pensamento e não das coisas; que a realidade e a irrealidade (aparência ilusória) são propriedades das coisas e não do pensamento; mas que um pensamento verdadeiro devia exprimir a realidade da coisa pensada, enquanto um pensamento falso nada podia exprimir.

Para os medievais terministas e para os modernos (século XVII), a lógica era uma arte de pensar, para bem conduzir a razão nas ciências. Os princípios e as leis da lógica correspondiam à estrutura do próprio pensamento, sobretudo à do raciocínio dedutivo – para os filósofos franceses de Port-Royal – e à do raciocínio indutivo – para o filósofo inglês Francis Bacon. Como arte de pensar, a lógica oferecia ao conhecimento científico e filosófico as leis do pensamento verdadeiro e os procedimentos para a avaliação dos conhecimentos adquiridos.

Essa lógica – antiga e moderna – não era plenamente formal, pois não era indiferente aos conteúdos das proposições, nem às operações intelectuais do sujeito do conhecimento. A forma lógica recebia o valor de verdade ou falsidade a partir da verdade ou falsidade dos atos de conhecimento do sujeito e da realidade ou irrealidade dos objetos conhecidos.

Ao contrário, a lógica contemporânea, procurando tornar-se um puro simbolismo do tipo matemático e um cálculo simbólico, preocupa-se cada vez menos com o conteúdo material das proposições (a realidade dos objetos referidos pela proposição) e com as operações intelectuais do sujeito do conhecimento (a estrutura do pensamento). Tornou-se plenamente formal.

Assim, como o matemático lida com objetos que foram construídos pelas próprias operações matemáticas, de acordo com princípios e regras prefixados e aceitos por todos, assim também o lógico-matemático elabora os símbolos e as operações que constituem o objeto lógico por excelência, a proposição.

O lógico indaga que forma deve possuir uma proposição para que:
- seja-lhe atribuída o valor de verdade ou falsidade;
- represente a forma do pensamento; e
- represente a relação entre pensamento, linguagem e realidade.

A lógica descreve as formas, as propriedades e as relações das proposições, graças à construção de um simbolismo regulado e ordenado que permite diferenciar linguagem cotidiana e linguagem lógica formalizada.

Boole definiu a lógica como o “método que repousa sobre o emprego de símbolos, dos quais se conhecem as leis gerais de combinação e cujos resultados admitem interpretação coerente”.

A lógica tornou-se cada vez mais uma ciência formal da linguagem, mas de uma linguagem muito especial, que nada tem a ver com a linguagem cotidiana, pois trata-se de uma linguagem inteiramente construída por ela mesma, partindo do modelo da matemática.

Dois aspectos devem ser mencionados para melhor compreendermos a relação entre a lógica contemporânea e a matemática.

1. A mudança no modo de conceber o que seja a matemática:
Durante séculos (na verdade, desde os gregos), considerou-se a matemática uma ciência baseada na intuição intelectual de verdades absolutas, existentes em si e por si mesmas, sem depender de qualquer interferência humana. Os axiomas, as figuras geométricas, os números e as operações aritméticas, os símbolos e as operações algébricas eram considerados verdades absolutas, universais, necessárias, que existiriam com ou sem os homens e que permaneceriam existindo mesmo se os humanos desaparecessem (para muitos filósofos, a matemática chegou a ser considerada a ciência divina por excelência).

No entanto, desde o século XIX passou-se a considerar a matemática uma ciência que resulta de uma construção intelectual, uma invenção do espírito humano, sem que suas entidades sejam existentes em si e por si mesmas. Os entes matemáticos são puras idealidades construídas pelo intelecto ou pelo pensamento, que formula um conjunto rigoroso de princípios, regras, normas e operações, para a criação de figuras, números, símbolos, cálculos, etc.

No final do século XIX, o matemático italiano Peano realizou um estudo sobre a aritmética dos números cardinais finitos demonstrando que podia ser derivada de cinco axiomas ou proposições primitivas e de três termos não definíveis – zero, número e sucessor de.

Desta maneira, a matemática surgia como um ramo da lógica, cabendo ao alemão Frege e aos ingleses Bertrand Russell e Alfred Whitehead prosseguir o trabalho de Peano, oferecendo as definições lógicas dos três termos que o matemático italiano julgara indefiníveis.

Frege ofereceu o primeiro conceito de sistema formal e os primeiros exemplos do cálculo de proposições e de predicados. A matemática é uma ciência de formas e cálculos puros organizados numa linguagem simbólica perfeita, na qual cada signo é um algoritmo, isto é, um símbolo com um único sentido. É elaborada pelo espírito humano e não um pensamento intuitivo que contemplaria entidades perfeitas e eternas, existentes em si e por si mesmas.

2. Mudança no modo de conceber o pensamento, distinguindo psicologia e teoria do conhecimento:
Durante muitos séculos, psicologia e teoria do conhecimento estiveram confundidas, constituindo uma só disciplina filosófica, encarregada de estudar os modos como conhecemos as coisas, distinguindo o que é puramente pessoal e individual (a vida psíquica ou mental de cada um de nós) do que é universal e necessário (válido em todos os tempos e lugares, para todos os sujeitos do conhecimento).

Quando a psicologia se tornou uma ciência (descrição dos fatos psíquicos e suas leis) independente da Filosofia e a teoria do conhecimento permaneceu filosófica (por não ser apenas uma descrição da vida mental, mas um estudo das diferenças no conteúdo e na forma dos conhecimentos), surgiu a pergunta: “Onde fica a lógica?”.

Alguns responderam: “Na psicologia”. Alegavam que os progressos da ciência psicológica iriam definir as regras universais a que todo e qualquer pensamento se submete, e a lógica seria apenas um ramo da psicologia, aquele que estuda como funciona o pensamento científico. Essa corrente lógica recebeu o nome de psicologismo lógico, mas foi logo refutada pela maioria dos lógicos e particularmente pelo alemão Edmund Husserl, o criador da fenomenologia.

À pergunta: “Onde fica a lógica?” os lógicos responderam: “Consigo mesma”. Em outras palavras, a lógica não é parte da psicologia nem da teoria do conhecimento, mas uma disciplina filosófica independente. Essa independência decorre da complexidade do pensamento, pois quando pensamos, há quatro fatores que nos permitem pensar:
1. o sujeito que pensa (o sujeito do conhecimento estudado pela teoria do conhecimento);
2. o ato de pensar (as operações mentais estudadas pela psicologia);
3. o objeto pensado (estudado pelas ciências); e
4. o pensamento decorrente do ato de pensar (esse, o objeto da lógica).

A lógica não se confunde com a psicologia, nem com a teoria do conhecimento, porque seu objeto é o pensamento enquanto operação demonstrativa, que segue regras orientadas para determinar se a demonstração é verdadeira ou falsa do ponto de vista do próprio pensamento, isto é, se a demonstração obedeceu ou não aos princípios lógicos.

Qual o efeito dessas duas mudanças sobre a lógica contemporânea? Em primeiro lugar, ao manter a proximidade e a relação com a matemática, a lógica passou a ser entendida como avaliadora da verdade ou falsidade do pensamento, concebido como uma construção intelectual. Ora, se o pensamento constrói seus próprios objetos, em vez de descobri-los ou contemplá-los, essa construção, segundo os próprios matemáticos, faz com que a matemática deva ser entendida como um discurso ou como uma linguagem que obedece a certos critérios e padrões de funcionamento.

Assim sendo, a lógica adotou para si o modelo de um discurso ou de uma linguagem que lida com puras formas sem conteúdo e tais formas são símbolos de tipo matemático (algoritmos).

Em segundo lugar, distinguindo-se da psicologia e da teoria do conhecimento, a lógica passou a dedicar-se menos ao pensamento e muito mais à linguagem, seja como tradução, representação ou expressão do pensamento, seja como discurso independente do pensamento. Seu objeto passou a ser o estudo de um tipo determinado de discurso: a proposição e as relações entre proposições.

Sua finalidade tornou-se o projeto de oferecer normas e critérios para uma linguagem perfeita, capaz de avaliar as demais linguagens (científicas, filosóficas, artísticas, cotidianas, etc.).

Linguagem e metalinguagem

Para conseguir seu propósito, a lógica atual distingue dois níveis de linguagem:
1. linguagem natural, isto é, aquela que usamos em nossa vida cotidiana, nas artes, na política, na filosofia;
2. linguagem formal, isto é, aquela que é construída segundo princípios e regras determinados que descrevem um tipo específico de objeto, o objeto das ciências.

Essa distinção também pode ser apresentada como diferença entre dois tipos de linguagem simbólicas:

1. a linguagem simbólica cultural (a linguagem “natural”), que usa signos, metáforas, analogias, esquemas para exprimir significações cotidianas, religiosas, artísticas, políticas, filosóficas. A principal característica desse simbolismo é ser conotativo, isto é, os símbolos carregam muitos sentidos e referem-se a muitas significações. A linguagem cultural é polissêmica, isto é, nela as palavras possuem inúmeros significados;

2. a linguagem simbólica lógico-científica (a linguagem “construída”), que usa um sistema fechado de signos ou símbolos (o algoritmo), em que cada símbolo é símbolo de uma única coisa e corresponde a uma única significação. Sua principal característica é ser essencialmente um simbolismo denotativo ou indicativo, evitando a polissemia e afirmando a univocidade do sentido simbolizado. Por exemplo: H2O, +, x, =, , , etc. são símbolos denotativos ou indicativos de um só objeto ou de um só sentido; são algoritmos.

A lógica ocupa-se com a linguagem formal ou com a linguagem simbólico-científica. Por ser um discurso ou uma linguagem que fala de outro discurso ou de outra linguagem, se diz que ela é uma metalinguagem.

Na vida cotidiana, podemos dizer, por exemplo, uma frase como: “O Sol é uma estrela”. A lógica começará dizendo: “A frase ‘O Sol é uma estrela’ é uma proposição afirmativa”. Prosseguirá dizendo: “A proposição ‘A frase O Sol é uma estrela é uma proposição afirmativa’ é uma proposição verdadeira”. E assim por diante.

A idéia da lógica como metalinguagem transparece com clareza quando examinamos, por exemplo, as teses principais do austríaco Ludwig Wittgenstein, cuja influência seria sentida por toda a lógica do século passado:

1. qualquer proposição que tenha significado é composta por proposições elementares, nas quais se encontra a verdade ou falsidade da proposição com significado;

2. as proposições elementares adquirem significado porque afiguram (retratam) o mundo não como fatos e coisas, mas como “estado de coisas”;

3. as proposições da lógica são verdadeiras independentemente das noções de “significado” e de “estado de coisas”, porque, rigorosamente, não falam de nada, pois referem-se a qualquer fato, significado ou estado de coisas que possam ocorrer ou não no Universo. As proposições lógicas são verdades vazias, referidas apenas ao próprio uso das convenções lógicas.

Lógica dos predicados e lógica das relações

Vimos que alguns filósofos medievais e clássicos julgaram necessário quantificar, além do sujeito da proposição, também o predicado. No século XIX, o lógico inglês Hamilton levou avante a quantificação dos predicados, chegando a oito tipos de proposições:

1. afirmativas toto-totais, em que sujeito e predicado são tomados em toda sua extensão (universais): “Todo S é todo P”. Por exemplo: “Todo triângulo é todo trilateral”;

2. afirmativas toto-parciais, em que o sujeito é tomado universalmente e o predicado particularmente: “Todo S é algum P”. Por exemplo: “Todo triângulo é alguma figura”;

3. afirmativas parti-totais, em que o sujeito é particular e o predicado é tomado universalmente: “Alguns S são todo P”. Por exemplo: “Alguns sul-americanos são todos os brasileiros”;

4. afirmativas parti-parciais, em que o sujeito e o predicado são tomados como particulares: “Algum S é algum P”. Por exemplo: “Algumas figuras eqüilaterais são alguns triângulos”;

5. negativas toto-totais, em que o sujeito em toda a sua extensão é excluído de toda a extensão do predicado: “Nenhum S é nenhum P”. Por exemplo: “Nenhum triângulo é nenhum quadrado”;

6. negativas toto-parciais, em que todo sujeito é excluído de apenas uma parte do predicado: “Nenhum S é algum P”. Por exemplo: “Nenhum triângulo é algum eqüilateral”;

7. negativas parti-totais, em que só uma parte do sujeito é excluída da extensão do predicado: “Algum S não é nenhum P”. Por exemplo: “Alguma figura eqüilateral não é nenhum triângulo”;

8. negativas parti-parciais, em que uma parte da extensão do sujeito é excluída de uma parte da extensão do predicado: “Alguns S não são alguns P”. Por exemplo: “Algum triângulo não é alguma figura eqüilateral”.

As proposições poderiam converter-se simplesmente umas nas outras e, finalmente, uma proposição era apenas uma equação entre um sujeito e um predicado. Com isso, o raciocínio já não consistia em fazer uma noção entrar em outra (a antiga inerência aristotélica), mas ser capaz de substituir outra equivalente, em proposições dadas, de sorte que proposições usando palavras como homem, animal, mortal, etc. poderiam ser tratadas como os raciocínios matemáticos que usam símbolos como x, y e z. Estava aberta a porta para que Boole propusesse o cálculo lógico.

O cálculo lógico realizou-se em duas etapas diferentes. Na primeira, com a introdução das noções de classe e função, manteve-se a idéia de que a proposição é a inclusão de um sujeito num predicado, ou melhor, a inclusão de toda ou parte da extensão do sujeito em toda ou parte da extensão do predicado. Na segunda etapa, com a introdução da idéia de relação, passou-se da concepção inclusiva-exclusiva do sujeito e do predicado à de sua equivalência ou substituição de um por outro.

À medida que se desenvolveu a formalização e a matematização da lógica, a noção de predicado recebeu um novo sentido e um novo tratamento. Passou a ser tratado como classe. Esta é um conjunto de objetos, que, possuindo algo em comum, “vão juntos”. Um predicado é o que permite reunir determinados objetos em classes: a classe dos azuis, a classe dos esféricos, a classe dos sul-americanos, a classe dos felizes, a classe dos miseráveis, a classe dos sólidos, etc.

Um predicado isolado – azul, feliz, sólido, miserável, etc. – não é verdadeiro nem falso. Recebe tal valor apenas a partir da inclusão ou exclusão do sujeito numa classe. Com a classe, o predicado se torna uma relação entre duas variáveis e essa relação chama-se função.

A lógica passa a construir um simbolismo que permite definir as funções do predicado, introduzindo novos quantificadores com os quais a função é calculada. Esse cálculo constitui a lógica dos predicados.

Por exemplo, a proposição tradicional “Sócrates é homem” será formalizada como F(a), onde F, a função, significa a “quantidade de ser homem” e a, a variável, designa “Sócrates”. Todavia, a variável poderá designar um indivíduo qualquer, um sujeito indeterminado, e a proposição será escrita como F(x). Tal proposição pode ser quantificada:

- a universal será escrita como (x)F(x), devendo ser lida como “para todo x, F de x”;

- a particular ou existencial será escrita como (x)F(x), devendo ser lida como “existe um x tal que F de x”.

Se, em lugar da inclusão tradicional do predicado no sujeito, tivermos classes, a relação será estabelecida entre “elemento” e “classe”, ou entre as próprias classes, tornando a proposição muito mais abrangente e complexa.

Tomemos, por exemplo, a proposição “Os homens são mortais” e a proposição “Sócrates é mortal”. Para calculá-las, devemos começar pela relação entre a classe dos homens e a dos mortais:

A (Classe dos homens)
B (Classe dos mortais)
A B (A classe dos homens está incluída na classe dos mortais.)

x (Sócrates)
A (Classe dos homens)
x A (Sócrates pertence à classe dos homens.)
 
Donde: (x) (x A) (x B), onde "" significa implica. 

Lemos: “Para todo x, x pertence a A implica que x pertence a B”. Portanto, “Sócrates é mortal”.

São seis as operações que podem ser realizadas com as classes:

1. inclusão de uma classe em outra: A B;

2. reunião de várias classes: D M N;

3. intersecção de várias classes com elementos comuns: A B C;

4. a da classe universal que abrange todos os elementos e cujo símbolo é ;

5. a da classe vazia, isto é, que não contém elemento algum e cujo símbolo é ;

6. a da classe complementar A’ de A, formada por todos os elementos que não pertencem a A.

Os lógicos que mais desenvolveram a possibilidade de uma lógica das classes, das funções proposicionais e do cálculo dos predicados foram Frege, Whitehead, Bertrand Russell e Wittgenstein.

A lógica dos predicados foi enriquecida e modificada com a lógica das relações, iniciada no século XIX pelos filósofos ingleses Morgan (que também era matemático) e Peirce.

A lógica das relações ocupa-se, como o nome indica, com relações entre conjuntos de objetos: maior do que, menor do que, perto de, longe de, mais velho que, mais novo que, pai de, mãe de, irmão de, causa de, finalidade de, semelhança com, diferente de, etc.

As relações podem abranger dois ou mais objetos, sendo binárias, ternárias, quaternárias, etc., dependendo do número de objetos abrangidos por ela.

A relação mais conhecida é a binária, expressa na fórmula xRy, que significa: há uma relação entre x e y.

As relações possuem propriedades calculáveis. Tais propriedades permitem diferenciar os vários tipos de relação, como por exemplo:

- relação transitiva: dados x, y e z e dadas xRy e yRz, há uma relação xRz. Por exemplo: x é maior do que y (xRy), y é maior do que z (yRz), x é maior do que z (xRz). Ou: (xRy) • (yRz) (xRz)

- relação não-transitiva: dados x, y e z, e dadas xRy e yRz, não se pode ter xRz, embora haja uma relação entre x e z. Por exemplo: Pedro é pai de João (xRy), João é pai de Antônio (yRz), mas Pedro não é pai de Antônio, pois é seu avô;

- relação intransitiva: dados x, y e z e dadas xRy e yRz, não é possível determinar qual seria a relação entre x e z. Por exemplo: x é maior do que y (xRy), y é menor do que z (yRz), mas não podemos saber se x é maior ou menor do que z;

- relação de simetria: xRy é o mesmo que yRx. Por exemplo: a é igual a b, b é igual a a; Ou: (x)(y)(xRy) (yRx)

- relação de assimetria: quando se tem xRy não se pode ter yRx. Por exemplo: a é maior do que b e, portanto, não se pode ter b é maior do que a. Ou: ~(x)~(y)(xRy) (yRx)

- relação reflexiva: estabelece-se entre uma relação transitiva e uma relação simétrica. Assim, por exemplo, “x pode ver y” é reflexiva num mundo onde haja espelhos, onde “y pode ver x”.

- relação irreflexiva: estabelece-se entre relações intransitivas e assimétricas;

- relação inversa: uma relação é inversa (S) a uma outra relação (R), quando para todos os objetos x, y e z, verifica-se xRy, se e somente se houver ySx. É o caso, por exemplo, da relação “pai de” e “filho de”.

Tanto a lógica dos predicados quanto a lógica das relações estão submetidas a uma lógica mais ampla, que é a das proposições ou do cálculo proposicional, pois a proposição é o campo da lógica propriamente dita.

O cálculo das proposições consiste em estabelecer os procedimentos pelos quais podemos determinar a verdade ou a falsidade de uma proposição, de acordo com sua ligação com outra ou com outras.

Os casos mais simples de cálculos de proposições referem-se à conjunção (“Pedro canta e Pedro dança”), negação (“Pedro canta. Pedro não canta”), disjunção (“Pedro canta ou Pedro dança”) e implicação (“Se Pedro canta, então Pedro dança”).

O cálculo consiste em atribuir o valor “verdade” a uma das proposições, o valor “falsidade” à outra e inferir o valor da ligação entre elas. 

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