Luz para a inteligência, Calor para a vontade

quarta-feira, 29 de julho de 2015

O homem que calculava - 35

(Fim da obra "O homem que calculava", de Malba Tahan)

APÊNDICES     

                

“A verdade não é monopólio de ninguém; 
é patrimônio comum das inteligências.”   
(Leonel Franca, S. J.)
  
“A matemática deve ser útil;
não nos esqueçamos, porém, de que essa ciência é,
acima de tudo, uma mensagem de sabedoria e beleza.” 
(H. Van Praag, À la découverte de l’algèbre)

“A matemática é um método geral do pensamento
aplicável a todas as disciplinas
e desempenha um papel dominante na ciência moderna.”
(Antônio Monteiro)                           

Calculistas Famosos
          
No capítulo II deste livro, destacamos o seguinte trecho:
“E apontando para uma velha figueira que se erguia a pequena distância, prosseguiu: - Aquela árvore, por exemplo, tem 284 ramos. Sabendo-se que cada ramo tem, em média, 347 folhas, é fácil concluir que aquela árvore tem um total de 98548 folhas. Estará certo, meu amigo?”

O calculista, no caso, efetuou mentalmente o produto de 284 por 347. Essa operação é tida como muito simples diante dos cálculos prodigiosos que os calculistas famosos efetuam.

O americano Arthur Griffith, nascido no Estado de Indiana, efetuava mentalmente, em 20 segundos, a multiplicação de dois números quaisquer de 9 algarismos cada um.

Nesse gênero de cálculo, cabe o recorde a um alemão, Zacarias Dase, que iniciou, aos quinze anos, a brilhante carreira de calculador. Dase superou os maiores prodígios, na capacidade de operar com números astronômicos.

Os calculadores mais hábeis não multiplicam, em geral, fatores que apresentem mais de 30 algarismos. Dase ia além desse limite.

No século XVIII, o inglês Jededish Buxton conseguiu fazer uma multiplicação na qual figuravam 42 algarismos. Essa proeza era julgada inexcedível; Dase, porém, determinava mentalmente o produto exato de dois fatores com 100 algarismos cada um!

Para a execução da raiz quadrada de um número de 80 ou 100 algarismos, ele exigia 42 minutos; e a complicada operação era efetuada mentalmente do princípio ao fim.

Dase aplicou a sua milagrosa habilidade de calculista na continuação dos trabalhos das tábuas dos números primos de Buckbardt para os números compreendidos entre 7000000 e 10000000.

Os conhecimentos de Dase limitavam-se às regras de cálculo; era, no mais, de uma ignorância lamentável; isso ocorre, em geral, com os calculistas prodigiosos.

Além desses, houve muitos outros calculadores-prodígio. Citemos os seguintes: Maurice Dagobert (francês), Jededish Buxton (inglês), Tom Fuler (americano), Giacomo Inaudi (italiano), etc. Para um estudo mais completo, indicamos:
Dr. Jules Regnault, Les calculateurs prodiges, Paris, 1952.
Robert Tocquet, Les calculateurs prodiges et leurs secrets, Ed. de Pierre Amiot, Paris, 1957.
Fred Barlow, Mental prodigies, Londres, 1952.
Wilhelm Lorei, Le mathématicien et le calcule numérique, Sphinx, abril, 1934.

Os Árabes e a Matemática
          
Foi notável a contribuição dos árabes para o progresso da matemática. Não só pelas traduções e larga divulgação das obras de Euclides, de Menelau, de Apolônio, etc, como também pelas notáveis renovações metodológicas no cálculo numérico (sistema indo-arábico).

A invenção do zero, por exemplo, é atribuída a um árabe, Mohammed Ibn Ahmad (do século X), que aconselhava em seu livro Chave da ciência: “Sempre que não houver um número para representar as dezenas, ponha um pequeno círculo para guardar o lugar”. Cf. Jacques C. Pisler, La civilisation árabe - Paris, 1955, pág. 151.

Os árabes colaboraram prodigiosamente para o progresso da aritmética, da álgebra, da astronomia e inventaram a trigonometria plana e a trigonometria esférica. Será muito difícil avaliar o que a nossa civilização deve aos árabes nos amplos domínios do progresso científico.

Os filósofos Federico Enriques e G. de Santilana, no livro Pequena história do pensamento científico (São Paulo, 1940), exaltam, sem exagero, mas com judiciosos argumentos, o papel notável que os árabes realizaram, para o engrandecimento moral e material da humanidade. Aos árabes devemos, acima de tudo, o advento da Renascença, no período histórico em que se realizou. Vejamos o que dizem os sábios Santilana e Enriques:
“Se os árabes fossem bárbaros destruidores como o foram os mongóis, nossa Renascença teria sido, pelo menos, gravemente retardada. Mas os estudantes muçulmanos não hesitam ante longas e custosas pesquisas com o fito de consultar e colecionar os preciosos textos antigos”.
E já naquele tempo (1234), construíram os árabes uma universidade: “...verdadeira cidade dos estudos, onde se provia de tudo às necessidades dos estudantes...”

A primeira grande obra orientada dentro do pensamento democrático (e isso muita gente ignora) foi o Alcorão: “Vários filósofos islâmicos aceitavam o Alcorão, mas queriam que fosse lícito interpretá-lo de forma compatível com um sistema de pensamento puramente lógico. Os pontos sobre os quais se discutia podem parecer atualmente bagatelas, mas sob eles se escondiam problemas filosóficos de vasto alcance, como o da eternidade do mundo, da causalidade, do tempo, da razão suficiente”.

Enquanto, entre os cristãos, pontificavam os astrólogos e embusteiros, com suas charlatanices, entre os árabes os astrônomos pesquisavam o céu e procuravam descobrir as leis que regem os infinitos de Allah: “Numa época em que do céu só vinham obscuros terrores e presságios, o único ponto do mundo em que o observavam com precisa intenção científica era o observatório de Al Batani ou o de Nassir Eddin”.

O povo árabe, não resta dúvida, pelo seu amor ao estudo das ciências, especialmente da matemática e da astronomia, foi o povo que mais colaborou para o progresso moral e material da Humanidade.
Cf. José Augusto Sánchez Pérez, La aritmética en Roma, índia y en Arábia, Madri, 1949, pág. 96 e ss.
René Taton, A ciência antiga e medieval, trad. de Ruy Fausto e Gita K. Ghinzerberg, São Paulo, 1959, pág. 21 e ss.
Pierre Dedron e Jean Itard, Mathématiques et mathématiciens, Ed. Maynard. Paris. 1958, pág. 21.
Será interessante ler Les mathématiques chez les árabes, no livro Histoire des mathêmatiques (Paris, 1927, I vol., pág. 152), de Rouse Bali. Especialmente sobre a obra de Al-Kharismi, convém ler: Aldo Mieli, Panorama general de historia de la ciência, Buenos Aires, 1946, pág. 55 e ss.
Há outra obra de alto interesse para os professores: Francisco Vera, La matemática de los musulmanos espanoles, Buenos Aires, 1947.

Elogio da Matemática

Vamos oferecer aos leitores alguns pensamentos, altamente elogiosos, sobre a matemática:

A matemática é a honra do espírito humano. - Leibniz.
 
Eis a matemática - a criação mais original do engenho humano. - Whitehead.

Nota-se, entre os matemáticos, uma imaginação assombrosa... Repetimos: havia mais imaginação na cabeça de Arquimedes do que na de Homero. - Voltaire.
 
Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática. - Paulo Carus.

Toda a minha física não passa de uma geometria. - Descartes

O mundo é cada vez mais dominado pela matemática. - A. F. Rambaud.

Toda educação científica que não se inicia com a matemática é naturalmente imperfeita em sua base. - Augusto Comte.
 
A matemática é a chave de ouro que abre todas as ciências. - Duruy.
 
Sem a matemática não nos seria possível compreender muitas passagens das Santas Escrituras. - Santo Agostinho.
 
Possui a matemática uma força maravilhosa, capaz de nos fazer compreender muitos mistérios de nossa fé. - São Jerônimo.
 
Sem a matemática não seria possível existir a astronomia; sem os recursos prodigiosos da astronomia, seria impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade. - Amoroso Costa.
 
A matemática não é uma ciência, mas a ciência. - Felix Auerbach.
 
A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números. - Blavatsky.
 
Uma ciência natural é, apenas, uma ciência matemática. - Emanuel Kant.
 
Quem não conhece a matemática morre sem conhecer a verdade científica. - Schelbach.
 
Deus é o grande geômetra. Deus geometriza sem cessar. - Platão.
 
As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus. - Kepler.
 
A matemática é a linguagem da precisão; é o vocabulário indispensável daquilo que conhecemos. - William F. White.
 
A matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade. - Laisant.
 
Pela certeza indubitável de suas conclusões constitui a matemática o ideal de ciência. - Bacon.
 
A ciência, pelo caminho da exatidão, só tem dois olhos: a matemática e a lógica. - De Morgan.
 
A matemática, de um modo geral, é fundamentalmente a ciência das coisas que são evidentes por si mesmas. - Felix Klein.
 
A matemática é o instrumento indispensável para qualquer investigação física. - Berthelot.
 
A matemática é uma ciência poderosa e bela; problemiza ao mesmo tempo a harmonia divina do universo e a grandeza do espírito humano. - F. Gomes Teixeira

A matemática é aquela forma de inteligência com auxílio da qual trazemos os objetos do mundo dos fenômenos para o controle da concepção de quantidade. - G. H. Howisson.

O raciocínio matemático tem por base certos princípios que são exatos e infalíveis. - John Adams.

Os números governam o mundo. - Pitágoras 
 
Tudo aquilo que as maiores inteligências, ao longo dos séculos, têm realizado em relação à compreensão das formas, por meio de conceitos precisos, está reunido numa grande ciência - a matemática. - J. M. Herbart.
 
A matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências. - Jacques Hadamard.

O epitáfio de Newton, na Abadia de Westminster (em Londres), é a fórmula que exprime o binômio a + b elevado à potência m. A maior glória de Newton foi ter, sobre seu túmulo, uma fórmula algébrica. - Chafi Haddad

Considerações Sobre os Problemas Propostos
     
Se bem que compreendamos que as soluções dadas pelo engenhoso Beremiz, o Homem que Calculava, terão sido suficientemente inteligíveis para a compreensão total de cada um dos problemas propostos ao longo desta obra e de suas correspondentes soluções, não é menos certo que estas foram alcançadas, na maioria dos casos, por métodos logísticos e dedutivos, embora nem por isso menos exatos.

Não obstante, para alguns dos problemas verificamos que faltava a solução rigorosamente matemática, ou seja, cingida ao frio cálculo numérico. Por isso, acreditamos ser necessário incluir neste apêndice, e para cada um dos problemas propostos, certas considerações, e se em alguns dos casos somente se trate de comentários à solução oferecida, em outros são uma exposição ampla da solução matemática do problema, porém em todos eles serão uma ajuda, sem dúvida, para uma melhor interpretação das engenhosas soluções oferecidas pelo nosso amigo, o Homem que Calculava.

[Nota do blog: omitimos essa parte dos apêndices por serem de difícil reprodução com os mecanismos do Blogger as fórmulas e símbolos matemáticos empregados pelo autor.]

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SUMÁRIO DA OBRA

Capítulo I
No qual encontro, durante uma excursão, singular viajante. Que fazia o viajante e quais eram as palavras que ele pronunciava.
 
Capítulo II
Neste capítulo Beremiz Samir, o Homem que Calculava, conta a história de sua vida. Como fiquei informado dos cálculos prodigiosos que realizava e por que nos tornamos companheiros de jornada.
 
Capítulo III
Onde é narrada a singular aventura dos 35 camelos que deviam ser repartidos por 3 árabes. Beremiz Samir efetua uma divisão que parecia impossível, contentando plenamente os três querelantes. O lucro inesperado que obtivemos com a transação. 

Capítulo IV
Do nosso encontro com um rico cheique. O cheique estava a morrer de fome no deserto. A proposta que nos fez sobre os 8 pães que trazíamos, e como se resolveu, de modo imprevisto, o pagamento com 8 moedas. As três divisões de Beremiz: a divisão simples, a divisão certa e a divisão perfeita. Elogio que um ilustre vizir dirigiu ao Homem que Calculava. 

Capítulo V
No qual vamos para uma hospedaria. Palavras calculadas por minutos. Beremiz resolve um problema e determina a dívida de um joalheiro. 

Capítulo VI
Do que ocorreu durante a nossa visita ao vizir Maluf. Encontramos o poeta Iezid, que não acreditava nos prodígios do cálculo. O Homem que Calculava conta, de modo original, uma cáfila numerosa. A idade da noiva e um camelo sem orelha. Beremiz descobre a “amizade quadrática” e fala do rei Salomão.

Capítulo VII
Nossa visita ao suque dos mercadores. Beremiz e o turbante azul. O caso dos quatro quatros. O problema dos 50 dinares. Beremiz resolve o problema e recebe um belíssimo presente. 

Capítulo VIII
Ouvimos Beremiz discorrer sobre as formas geométricas. Encontramos o cheique Salém Nasair entre os criadores de ovelhas. Beremiz resolve o problema dos 21 vasos e mais outro que causa assombro aos mercadores. Como se explica o desaparecimento de 1 dinar numa conta de 30 dinares. 

Capítulo IX
No qual recebemos a visita do cheique Iezid, o Poeta. Estranha conseqüência das previsões de um astrólogo. A mulher e a matemática. Beremiz é convidado a ensinar matemática a uma jovem. Situação singular da misteriosa aluna. Beremiz fala de seu amigo e mestre, o sábio Nô-Elim. 

Capítulo X
No qual vamos ao palácio de Iezid. O rancoroso Tara-Tir não confia no calculista. Os pássaros cativos e os números perfeitos. O Homem que Calculava exalta a caridade do cheique. Ouvimos uma terna e arrebatadora canção. 

Capítulo XI
Vamos aqui narrar como iniciou Beremiz o seu curso de matemática. Uma frase de Platão. A unidade e Deus. Que é medir. As partes que formam a matemática. A aritmética e os números. A álgebra e as relações. A geometria e as formas. A mecânica e a astronomia. Um sonho do rei Asad-Abou-Carib. A “aluna invisível” ergue a Allah uma prece. 

Capítulo XII
No qual Beremiz revela grande interesse por um brinquedo de corda. A curva do maraçã e as aranhas. Pitágoras e o círculo. Encontramos Harim Namir. O problema dos 60 melões. Como o vequil perdeu a aposta. A voz do muezim cego chama os crentes para a oração do mogreb. 

Capítulo XIII
Que trata da nossa visita ao palácio do califa. Beremiz é recebido pelo rei. Os poetas e a amizade. A amizade entre os homens e a amizade entre os números. Números amigos. O califa elogia o Homem que Calculava. É exigida, em palácio, a presença de um calígrafo. 

Capítulo XIV
Narra o que se passou no divã real. Os músicos e as bailarinas gêmeas. Como Beremiz identificou Iclímia e Tabessã. Surge um vizir invejoso que critica Beremiz. O elogio dos teóricos e sonhadores, feito por Beremiz. O rei proclama a vitória da teoria sobre o imediatismo grosseiro. 

Capítulo XV
No qual Nuredim, o emissário, regressa ao palácio do rei. A informação que obteve de um imã. Como vivia o pobre calígrafo. O quadrado cheio de números e o tabuleiro de xadrez. Beremiz fala sobre os quadrados mágicos. A consulta do ulemá. O rei pede a Beremiz que lhe conte a lenda do jogo de xadrez. 

Capítulo XVI
Onde se conta a famosa lenda sobre a origem do jogo de xadrez. A lenda é narrada ao califa de Bagdá, Al- Motacém Bilah, Emir dos Crentes, por Beremiz Samir, o Homem que Calculava. 

Capítulo XVII
Recebe o Homem que Calculava inúmeras consultas. Crendices e superstições. Unidades e figuras. O contador de histórias e o calculista. O caso das 90 maçãs. A ciência e a caridade. 

Capítulo XVIII
Que trata de nossa volta ao palácio do cheique Iezid. Uma reunião de poetas e letrados. A homenagem ao marajá de Laore. A matemática na índia. A pérola de Lilaváti. Os problemas de aritmética dos hindus. O valor da escrava de 20 anos. 

Capítulo XIX
No qual o príncipe Cluzir elogia o Homem que Calculava. O problema dos três marinheiros. Beremiz descobre o segredo de uma medalha. A generosidade do marajá de Laore. 

Capítulo XX
No qual Beremiz dá a segunda aula de matemática. Número e sentido de número. Os algarismos. Os sistemas de numeração. Numeração decimal. O zero. Ouvimos novamente a voz da aluna invisível. O gramático Doreid cita um poeta. 

Capítulo XXI
No qual começo a copiar livros de medicina. Grandes progressos da aluna invisível. Beremiz é chamado a resolver um problema. A metade do “x” da vida. O rei Mazim e as prisões de Korassã. Um verso, um problema e uma lenda. A justiça do rei Mazim. 

Capítulo XXII
Que ocorreu durante a nossa visita às prisões de Bagdá. Como Beremiz resolveu o problema da metade do “x” da vida. O instante do tempo. A libertação condicional. Beremiz esclarece os fundamentos de uma sentença.
 
Capítulo XXIII
Do que sucedeu durante uma honrosa visita que recebemos. Palavras do príncipe Cluzir Schah. Um convite principesco. Beremiz resolve um problema. As pérolas do rajá. Um número cabalístico. Fica resolvida a nossa partida para a índia. 

Capítulo XXIV
Reaparece Tara-Tir. O Epitáfio de Diofante. O problema de Hierão. Livra-se Beremiz de um inimigo perigoso. Uma carta do capitão Hassã. Os cubos de 8 e 27. A paixão pelo cálculo. A morte de Arquimedes. 

Capítulo XXV
Vamos pela segunda vez ao palácio do rei. A estranha surpresa. Perigoso torneio de um contra sete. A restituição de misterioso anel. Beremiz recebe um tapete azul-claro. Versos que abalaram um coração apaixonado. 


Capítulo XXVI
No qual vamos encontrar um teólogo famoso. O problema da vida futura. O muçulmano deve conhecer o livro sagrado. Quantas palavras há no Alcorão? Quantas letras? O nome de Jesus é citado 19 vezes. Um engano de Beremiz. 

Capítulo XXVII
No qual um sábio historiador interroga Beremiz. O geômetra que não podia olhar para o céu. A matemática na Grécia. Elogio de Erastóstenes. 

Capítulo XXVIII
Prossegue o memorável torneio no diva do rei. O terceiro sábio interroga Beremiz. A falsa indução. Como se acha a raiz quadrada de 2025. Beremiz demonstra que um princípio falso pode ser sugerido por exemplos verdadeiros.

Capítulo XXIX
Vamos ouvir antiga lenda persa. O material e o espiritual. Os problemas humanos e transcendentes. A multiplicação famosa. O sultão reprime, com energia, a intolerância dos cheiques islamitas. 

Capítulo XXX
Beremiz, o calculista, narra uma lenda. O tigre sugere a divisão de 3 por 3. O chacal indica a divisão de 3 por 2. Como se calcula o quociente na matemática do mais forte. O cheique do turbante verde elogia Beremiz. Como se acha o castigo de Deus em relação ao pecador. 

Capítulo XXXI
No qual o sábio cordovês conta uma lenda. Os três noivos de Dahizé. O problema dos cinco discos. Como Beremiz reproduziu o raciocínio de um noivo inteligente. Curiosa opinião de um cheique iemenita que não entendeu o problema. Beremiz reproduziu o raciocínio de um noivo inteligente. Curiosa opinião de um cheique iemenita que não entendeu o problema. 

Capítulo XXXII 
Como foi Beremiz interrogado por um astrônomo libanês. O problema da pérola mais leve. O astrônomo cita um poeta em homenagem ao calculista. 

Capítulo XXXIII 
No qual o califa Al-Motacém oferece ouro e palácios ao calculista. A recusa de Beremiz. Um pedido de casamento. O problema dos olhos pretos e azuis. Como Beremiz determinou, pelo cálculo, a cor dos olhos de cinco escravas. 

Capítulo XXXIV 

“Segue-me”, disse Jesus. “Eu sou o caminho que deves trilhar, a verdade em que deves crer, a vida que deves esperar. Eu sou o caminho sem perigo; a verdade sem erro e a vida sem morte”. 

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