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quinta-feira, 16 de março de 2017

Linhas de pesquisa do IMPA



No momento, o IMPA (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada) conta com onze grupos de pesquisa distribuídos pelas seguintes áreas: 

Álgebra 
Análise / Equações Diferenciais Parciais 
Computação Gráfica 
Dinâmica dos Fluidos 
Economia Matemática 
Geometria Complexa e Folheações Holomorfas 
Geometria Diferencial 
Geometria Simplética 
Otimização 
Probabilidade 
Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica 

A seguir, será feito um breve resumo sobre as atividades desenvolvidas atualmente em cada uma das áreas acima mencionadas, com a indicação de suas principais linhas de pesquisa.

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Álgebra 

As pesquisas em Álgebra no IMPA têm sido realizadas nas seguintes áreas: 

• Geometria Algébrica 

• Teoria dos Números 

• Álgebra Comutativa 

A Geometria Algébrica estuda a classificação, as propriedades de interseção e as singularidades de conjuntos definidos por equações polinomiais a várias variáveis. Classicamente, ela se originou no estudo das curvas e superfícies definidas por tais equações. Neste aspecto tem muitas ligações com o estudo das variedades analíticas e diferenciais. Muitos de seus métodos são tipicamente da Topologia Algébrica e de certas partes da Análise. Em seu aspecto local, a Geometria Algébrica pode ser expressa na linguagem da Álgebra Comutativa. No aspecto global, lança mão de métodos cohomológicos, os quais tem influenciado outras partes da Matemática. 

A Teoria dos Números teve seu impulso inicial na busca de soluções inteiras e racionais de equações a coeficientes inteiros (equações diofantinas). Entre outras coisas, isso levou ao estudo das extensões algébricas finitas do corpo dos números racionais e ao estudo da aritmética das variedades algébricas. 

Os esforços para resolver abstratamente certos problemas que surgiram na Geometria Algébrica e na Teoria dos Números Algébricos deram origem à Álgebra Comutativa, cujos objetivos principais são a classificação dos anéis comutativos e a determinação de suas estruturas, segundo propriedades geométricas, aritméticas e algébricas. 

Os resultados alcançados nestes tópicos de pesquisa fundamental têm encontrado ampla aplicação, tanto teórica (Física, Biologia, etc.) como prática (Criptografia, Códigos, etc.) 

No IMPA as principais linhas de pesquisa neste campo são: 
• Singularidades de curvas algébricas; 
• Curvas algébricas e seus espaços de classificação; 
• Fibrados vetoriais sobre curvas algébricas; 
• Curvas algébricas sobre corpos finitos e seus pontos racionais; 
• Curvas racionais em variedades algébricas. 


Análise / Equações Diferenciais Parciais 

As pesquisas em Análise no IMPA se desenvolvem nos seguintes setores: 

Equações Diferenciais Parciais da Física Matemática: São estudadas equações de evolução não lineares, por exemplo, as de Korteweg-de Vries, Benjamin-Ono, Navier-Stokes e Euler, e são abordados aspectos tais como a existência de soluções, a unicidade, dependência dos dados iniciais e o comportamento assintótico. Outro tema importante é a equação de Schrödinger com funções hamiltonianas dependentes do tempo, que é estudada através das propriedades espectrais dos operadores associados. 

Problemas Inversos e Aplicações: A teoria de problemas inversos se dedica à determinação de parâmetros ou funções que entram em modelos físicos com base em propriedades ou observações das soluções das equações que caracterizam tais modelos. Em geral os modelos considerados levam a equações diferenciais parciais cuja solução requer a utilização de métodos numéricos conjuntamente com técnicas analíticas. A área de problemas inversos tem sido objeto de grande atividade recente e tem interfaces multi-disciplinares com aplicações como, por exemplo, em tomografia computadorizada, geofísica, semi-condutores e finanças quantitativas. 

Sólitons e Análise Não-Linear: Sólitons são ondas de grande amplitude que se propagam em meios não-lineares e interagem sem mudanças substanciais na sua forma. Esta teoria se desenvolveu acentuadamente a partir da década de 70, buscando compreender a suepreendente robustez deste fenômeno e desenvolver as suas inúmeras aplicações, da engenharia ótica à transmissão de sinais. 

Leis de Conservação, Equações Cinéticas, Equações da Mecânica dos Fluidos e Teoria Geométrica da Medida às Equações Diferenciais: Nesses tópicos são estudados sistemas de equações diferenciais parciais não-lineares que surgem na mecânica do contínuo, na teoria cinética dos gases da mecânica dos fluidos clássica e relativística. A Teoria Geométrica da Medida desempenha um papel fundamental no estudo dessas equações em questões como a regularidade, homogenização, comportamento assintótico, etc. Também são analisados métodos de aproximação tais como diferenças finitas, métodos de relaxação e métodos cinéticos. Os problemas tratados têm em geral uma forte motivação em aplicações tais como fluidos em meios porosos, filtração, dinâmica dos gases, cinética dos gases, eletromagnetismo, fluxos de tráfico, transporte ótimo de massas, etc.


Computação Gráfica 

O Projeto Visgraf de Visão e Computação Gráfica, foi criado em 1989, para promover e desenvolver as atividades de pesquisa, ensino e desenvolvimento de projetos nas áreas afins que envolvem modelos geométricos e imagens. O interesse do IMPA pela Computação Gráfica datava de uns dez anos antes, no início da década de oitenta, quando foi adquirido um terminal gráfico Textronix que atualmente é parte da coleção histórica do laboratório. 

O Visgraf adota a filosofia de que a Computação Gráfica é um ramo aplicado da Matemática. Como tal, o grupo está muito interessado nos fundamentos matemáticos da Computação Gráfica e em suas aplicações. 

As áreas principais de pesquisa do Laboratório são: Processamento, Síntese e Análise de Imagens; Visualização; Modelagem Geométrica; Interação; Animação e Multimídia. 

Segue-se um resumo mais detalhado das linhas de pesquisa em execução pelo grupo. 

Modelagem e Visualização 
− Estruturas de Malhas Hierárquicas 
− Métodos Numéricos Intervalares 
− Superfícies de Subdivisão 4-8 
− Síntese de Formas em Multi-escala 
− Textura Dinâmica de Superfícies Implícitas 

Visão e Processamento de Imagens 
− Árbitro Virtual 
− Quantização de Imagens 
− Meio-tom Digital com curvas de preenchimento do espaço 

Animação e Multimídia 
− Visorama: Realidade Virtual com Panoramas 
− Captura e Processamento de Movimento 
− Deformação e Metamorfose de Objetos Gráficos 
− Cenários Virtuais e Composição de Imagens 

Interfaces e Aplicações 
− VisMed: Visualização e Análise de Imagens Médicas 
− Fotografia 3D 
− Visualização de Dados Geográficos 
− Bancos de Dados de Vídeo 

O Projeto Visgraf é apoiado pela FINEP, CNPq, FAPERJ, e mantém colaboração regular com o Tecgraf e o Matmídia da PUC-Rio, o CMA da Ecole Polytechnique e o Media Research Lab do Courant Institute of Mathematical Sciences.


Dinâmica dos Fluidos 

Dinâmica dos Fluidos é uma área de pesquisa muito antiga e ao mesmo tempo de intensa atividade em pesquisa até a presente data. Nesta área, confluem técnicas de Análise Matemática, Análise Assintótica, Análise Numérica, Probabilidade, Teoria de Leis de Conservação e de Equações de Reação-Difusão, de Sistemas Dinâmicos, como Teoria de Bifurcações, dentre outras. Devido à sua relevância tecnológica e à grande gama de problemas matemáticos interessantes que origina, continua sendo uma das áreas mais importantes de Equações Diferenciais Parciais. Nas últimas décadas tem sido impulsionada pelo uso intensivo de computadores, no qual a Análise Numérica é de grande importância, passando a ser uma área central em Computação Científica. 

A partir de 1987 estabeleceu-se no IMPA um pequeno grupo de pesquisa em Dinâmica dos Fluidos com ênfase em aplicações úteis ao país. As principais são: Recuperação de Petróleo, Aspectos de Modelagem, Previsão Numérica de Tempo e de Modelagem Ambiental, Propagação de Ondas em Meios Heterogêneos e Análise Numérica, Decomposição de Domínios e Computação Paralela. 

Mais detalhadamente, o grupo tem trabalhado em: 

• Escoamento em Reservatórios Petrolíferos; 

• Modelagem Geofísica: escoamentos no oceano, no subsolo, na atmosfera e em rios; 

• Propagação de Ondas Costeiras e Ondas Acústicas em meios heterogêneos; 

• Análise Numérica, Decomposição de Domínios e Computação Paralela. 

O Laboratório de Dinâmica dos Fluidos Computacional (www.fluid.impa.br) é utilizado para a realização de experimentos computacionais e para aulas práticas. As atividades do grupo espalham-se por uma rede de colaboradores, envolvendo muitas instituições, tanto brasileiras como estrangeiras, com a realização de projetos conjuntos. As suas atividades têm recebido apoio de diversas instituições e agências financiadoras.  


Economia Matemática 

A Economia Matemática consiste na aplicação da Matemática ao desenvolvimento de modelos econômicos, com o propósito de construir uma Teoria Econômica rigorosa e unificada. As técnicas da Análise Funcional, Topologia, Topologia Diferencial são de amplo uso no modelo econômico central: A Teoria do Equilíbrio Geral. Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos provêm aos economistas matemáticos as ferramentas básicas para a análise do processo ou dinâmica econômica. Probabilidade é fundamental no estudo de modelos econômicos, onde risco e incerteza estão presentes. 

Aliada à Economia Matemática, tem-se a Econometria, que estuda as propriedades dos processos de geração de dados, das técnicas de análise de dados econômicos e os métodos de estimação e testes de hipóteses econômicas. Nessa área, o ferramental desenvolvido pela Estatística é central. 

As principais áreas de pesquisa nesse campo desenvolvidas no IMPA atualmente são: 

• Equilíbrio Geral, Economia Dinâmica e Teoria do Capital; 

• Informação e Assimétrica; 

• Mercados Incompletos e Bancarrota. 


Geometria Complexa e Folheações Holomorfas 

A teoria das equações diferenciais complexas foi iniciada no século XIX com os trabalhos de Briot e Bouquet, Poincaré, Picard, Darboux, Painlevé, Halphen e já no início do século XX, Dulac. Quando uma equação vem dada por polinômios, ela define de maneira natural uma folheação por folhas de dimensão um no espaço euclidiano ou em uma de suas compactificações. A questão principal consiste em analisar a dinâmica das soluções (as folhas), tanto local quanto globalmente. 

A pesquisa moderna na área foi retomada por Reeb na França, inspirado pelos trabalhos de Painlevé, e por Petrovsky, Landis e Iliashenko na Rússia, motivados pelo 16o problema de Hilbert. A década de 70 trouxe intenso desenvolvimento na França, com as contribuições de Moussu, Mattei, Cerveau, Martinet e Ramis, e no Brasil com os avanços alcançados pelo grupo do IMPA. Desde então o grupo tem tido contribuição fundamental no estabelecimento de teoremas importantes, frequentemente com a colaboração de pesquisadores de universidades brasileiras. 

Os fenômenos modelados por equações diferenciais polinomiais reais geram, de uma maneira natural, equações diferenciais complexas. A interface entre a equação real e a sua complexificada conduz a uma melhor compreensão do fenômeno modelado. Uma das razões é que o estudo do problema complexificado permite a utilização de ferramentas provenientes da Análise Complexa e da Geometria Algébrica, revelando aspectos não aparentes do problema real e produzindo resultados que podem ser interpretados no contexto original. Inversamente, o estudo de equações diferenciais do tipo Picard-Fuchs e aquelas provenientes de conexões de GaussManin resulta em demonstrações rigorosas de alguns teoremas fundamentais da Geometria Algébrica, como o teorema de Noether-Lefschetz. Tais equações são satisfeitas por períodos de fibrações e deram origem à teoria de Hodge em Geometria Algébrica. 

A pesquisa desenvolvida no IMPA trata de uma variada gama de problemas que vão desde questões clássicas de integrabilidade por meio de funções transcendentes até questões mais modernas sobre a dinâmica de folheações e aplicações em Geometria Algébrica e Teoria de Hodge. Algumas linhas desta pesquisa são: 

• Conjuntos limites de folheações; 

• Estrutura transversal de folheações complexas; 

• Folheações projetivas de codimensão um Geometria birracional de folheações; 

• Linearização de folheações e vizinhanças normais; 

• Soluções algébricas de equações diferenciais algébricas; 

• Uniformização das folhas de uma folheação complexa; 

• Índices e invariantes de folheações projetivas; 

• Componentes irredutíveis dos espaços de folheações 16º problema de Hilbert e zeros de integrais abelianas; 

• Equações de Picard-Fuchs, e teoria de Picard-Lefschetz; 

• Equações diferenciais de formas modulares; 

• Variedades de Calabi-Yau Ciclos de Hodge e ciclos algébricos. 


Geometria Diferencial 

A Geometria Diferencial consiste em aplicações dos métodos da Análise local e global a problemas de Geometria. Ela tem profundas interligações com outros domínios da Matemática tais como: Equações Diferenciais Parciais (subvariedades mínimas), Topologia (Teoria de Morse e classes características), Funções Analíticas Complexas (variedades complexas), Sistemas Dinâmicos (fluxo geodésico) e Teoria dos Grupos (variedades homogêneas). A linguagem e os modelos da Geometria Diferencial têm encontrado aplicações em domínios afins tais como a Relatividade e a Mecânica Celeste. Dado este caráter interdisciplinar, a Geometria Diferencial tem mostrado grande vitalidade e tem se desenvolvido em várias direções que apresentam um considerável volume de pesquisas nos dias atuais. 

No IMPA, as principais linhas atuais de pesquisa em Geometria Diferencial estão vinculadas à Geometria Riemanniana. Entre elas, podemos mencionar: 

• Subvariedades Mínimas e de Curvatura Média Constante; 

• Curvatura e Topologia; 

• Imersões Isométricas; 

• Análise Geométrica. 


Geometria Simplética 

Geometria Simplética é um ramo da Geometria Diferencial com raízes históricas na formulação geométrica da mecânica clássica do século XIX, conhecida como “formalismo Hamiltoniano". Seus desenvolvimentos recentes, contudo, são fruto de sua íntima relação com áreas diversas da Matemática (incluindo topologia, dinâmica e geometria complexa e Física Matemática contemporâneas). 

No âmbito simplético, os chamados "colchetes de Poisson'' (originados nos trabalhos clássicos de Poisson, Jacobi, Lie e Hamilton) tem papel de destaque e levam ao conceito de "variedades de Poisson", que generalizam variedades simpléticas. A geometria de Poisson tornou-se um ativo campo de pesquisa a partir dos anos 1980, combinando técnicas de geometria simplética, teoria de folheações e teoria de Lie. Por outro lado, estruturas de Poisson surgem naturalmente como limites semi-clássicos de sistemas quânticos, e podem ser vistas como objetos intermediários entre a Geometria Diferencial e o mundo das álgebras não-comutativas. 

As principais linhas de pesquisa nesse campo desenvolvidas no IMPA atualmente são: 

• Geometria simplética equivariante: ações Hamiltonianas e aplicações momento; 

• Variedades de Poisson e geometrias relacionadas: estruturas de Dirac e algebróides de Courant, geometria complexa generalizada; 

• Grupoides e algebroides de Lie; 

• Geometria de Poisson e quantização por deformação; relações com geometria não-comutativa.


Otimização 

 As atividades na área no IMPA começaram nos anos 70 com o grupo então denominado de Pesquisa Operacional. Atualmente, os interesses de pesquisa do grupo concentram-se em otimização contínua e áreas correlatas. Entre os tópicos específicos de pesquisa, mencionamos: 

• Métodos iterativos para otimização convexa ou viabilidade convexa de grande porte, com aplicações em reconstrução de imagens a partir de projeções (por exemplo, tomografia computadorizada); 

• Métodos computacionais para problemas de complementariedade não linear e desigualdades variacionais; 

• Generalizações do método de ponto proximal para otimização convexa e desigualdades variacionais monótonas (incluindo recentemente casos não convexos e não monótonos); 

• Métodos não monótonos para otimização não linear; 

• Teorias de regularidade em dimensão finita (particularmente, 2-regularidade); 

• Extensões de operadores monótonos maximais, generalizando o є-subdiferencial de uma função convexa; • Otimização em espaços de Banach; 

• Estudo do espaço dos cones convexos e fechados; 

• Otimização de funções a valores vetoriais.


Probabilidade 

A Teoria da Probabilidade visa fundamentalmente a modelagem de fenômenos sujeitos a incerteza. Sua utilização no planejamento e inferência estatística é bastante conhecida. Ela se tem revelado de grande importância em áreas tais como Engenharia Elétrica, Teoria da Informação (detecção de sinal, controle) e Física (Mecânica Estatística, Clássica ou Quântica). Ademais, modelos, conceitos e métodos probabilísticos são hoje amplamente utilizados em Química, Ciências Sociais e Ciências Econômicas. 

As principais linhas de pesquisa no IMPA nesse campo são: 

• Comportamento Hidrodinâmico de Sistemas de Partículas; 

• Pequenas Perturbações Aleatórias de Sistemas Determinísticos; 

• Percolação; 

• Sistemas Markovianos com Infinitas Componentes em Interação. 

Um objetivo importante é obter modelos matematicamente rigorosos que favoreçam o entendimento de questões delicadas, ligadas à Mecânica Estatística, tais como o limite hidrodinâmico. Examinam-se também conexões com problemas estatísticos de reconstrução de imagens.


Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica 

Na segunda metade do século XIX, um dos maiores gênios da matemática de todos os tempos, Henri Poincaré, inicia seus trabalhos científicos buscando compreender o comportamento a longo prazo das trajetórias das equações diferenciais, sem necessariamente integrá-las, ou seja, explicitá-las em termos de funções conhecidas, como as polinomiais, trigonométricas, exponenciais e logaritmicas. Poincaré propôs desde o início que tal estudo fosse restrito à “maioria” das equações diferenciais, pois do contrário ele não seria viável. Nasce assim, a Teoria Qualitativa dos Sistemas Dinâmicos. A seguir ela se enriquece com os trabalhos de Poincaré sobre sistemas conservativos, especialmente aqueles da mecânica celeste, buscando compreender a evolução do sistema solar. O mesmo pode-se dizer quanto à evolução dos fenômenos naturais de um modo geral. 

Esta teoria teve contribuições fundamentais de alguns dos maiores matemáticos do século XX, tais como Lyapunov, Andronov, Birkhoff e Kolmogorov. Neste processo, sua abrangência cresceu muito, passando-se a contemplar outros modelos de evolução no tempo além das equações diferenciais: iterações de transformações, equações diferenciais com retardamento, equações diferenciais parciais de evolução, transformações e equações diferenciais estocásticas. Ao mesmo tempo, intensificou-se a aplicação de resultados e métodos de Sistemas Dinâmicos na explicação de fenômenos complexos nas diversas ciências: Química (reações químicas, processos industriais), Física (turbulência, transição de fase, ótica), Biologia (competição de espécies, neurobiologia), Economia (modelos de crescimento econômico, mercado financeiro) e muitos outros. 

Entre as ferramentas utilizadas por Poincaré, menciona-se o estudo das medidas de probabilidade invariantes sob a ação do sistema, que é o objetivo da Teoria Ergódica. Esta teoria relaciona-se diretamente aos trabalhos de Boltzmann, Maxwell e Gibbs, que fundaram a Teoria Cinética dos Gases na segunda metade do século XIX. Os teoremas ergódicos provados por Birkhoff e Von Neumann nas primeiras décadas do século XX, muito contribuíram para estabelecer os fundamentos desta área, que iria mostrar-se notavelmente bem sucedida no âmbito dos sistemas dinâmicos diferenciáveis. Além dos trabalhos pioneiros de Kolmogorov sobre turbulência, outro fato notável foi a constatação, a partir dos trabalhos de Lorenz sobre convecção e previsão do tempo, no início da década de setenta, de que estocasticidade não é uma característica apenas dos sistemas complexos: mesmo fenômenos determinísticos com leis de evolução simples não-lineares podem comportar-se de modo até certo ponto imprevisível. De fato, as trajetórias de tais sistemas são, com probabilidade total, sensíveis a longo prazo às condições iniciais, comportamento este atualmente chamado de “caótico”. A Teoria Ergódica pode conduzir a uma descrição bastante satisfatória desse comportamento, em termos estatísticos ou probabilísticos. 

A pesquisa do grupo de Sistemas Dinâmicos do IMPA abrange as principais áreas de interesse atual na Dinâmica Dissipativa e também direções importantes da Dinâmica Conservativa, em que se supõe a existência de uma medida invariante especial, traduzindo alguma lei de conservação. As atuais linhas de pesquisa no IMPA são: 

• Atratores estranhos, medidas físicas, estabilidade estocástica; 

• Bifurcações homoclínicas e dimensões fractais; 

• Dinâmica simplética; 

• Dinâmica uni-dimensional; 

• Expoentes de Lyapunov e hiperbolicidade não-uniforme; 

• Hiperbolicidade parcial, decomposição dominada, robustez dinâmica. 


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